Combinatoire des opérateurs propres de Macdonald

Wallace, Nancy (2017). « Combinatoire des opérateurs propres de Macdonald » Mémoire. Montréal, Québec, Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Cette recherche porte sur les opérateurs propres de Macdonald. Le premier chapitre est une revue de littérature, afin de rendre les chapitres suivants accessibles. On y introduit les notions classiques de combinatoire, les notions de base sur les fonctions symétriques et les objets qui sont au cœur de notre propos : les polynômes de Macdonald. On peut alors introduire la notion d'opérateurs «propres» de Macdonald, tels que l'opérateur ∇ qui joue un rôle fondamental dans l'étude de nombreuses questions en lien avec les espaces de polynômes diagonaux harmonique. Dans le chapitre 2, on introduit une généralisation de ∇, les opérateurs monomiaux. Cette généralisation contient un sous-ensemble d'opérateurs dont on montre une interprétation combinatoire. Le fruit de cette recherche sur les opérateurs monomiaux permet une caractérisation de ∇ en terme de propriétés algébriques. Elle permet également une caractérisation des opérateurs monomiaux multiplicatifs, ayant une «symétrie conjuguée» et qui sont «Schur polynomiaux». Sous l'hypothèse que la conjecture 1 de (Bergeron et al., 1999) soit valide cela correspond à la Schur positivité. À la fin de la section 2.3, on formule cinq questions. La première entrainerait la résolution de la conjecture de Bergeron et al. déjà mentionnée. Tandis qu'une réponse à une seule des quatre dernières questions permet une caractérisation minimale de ∇. On utilise également les opérateurs monomiaux pour généraliser la notion d'opérateurs définis par substitution pléthystique. On termine le chapitre avec une classification partielle des opérateurs propres de Macdonald. Le chapitre 3 porte sur la structure de l'opérateur ∇ en la spécialisation q = t = 1. On met en évidence qu'il y a là une singularité et on explique pourquoi celle-ci empêche les opérateurs monomiaux d'y'être bien définis. On termine le chapitre en spéculant sur une interprétation combinatoire potentielle pour la structure en bloc de Jordan de la spécialisation de l'opérateur ∇ en q=t=1. __________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Fonctions symétriques, opérateurs propres de Macdonald, nabla, Schur positif, chemins de Dyck.

Type: Mémoire accepté
Informations complémentaires: Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse: Bergeron, François
Mots-clés ou Sujets: Polynômes de Macdonald / Théorie des opérateurs / Analyse combinatoire / Fonctions symétriques / Fonctions de Schur / Chemins de Dyck
Unité d'appartenance: Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par: Service des bibliothèques
Date de dépôt: 29 nov. 2017 11:05
Dernière modification: 29 nov. 2017 11:05
Adresse URL : http://www.archipel.uqam.ca/id/eprint/10736

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