Le carquois de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D

Fotso, Fils Geasino (2019). « Le carquois de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique, qui s'intéresse à des structures algébriques abstraites finies ou engendrées par un ensemble fini d'éléments. Notre étude porte sur la description du carquois, noté QDn de l'algèbre de descentes du groupe de Coxeter de type D, notée (KF)Dn. Un carquois étant un graphe orienté, il s'agit de déterminer les sommets et les nombres de flèches. En d'autres termes, il s'agit de la présentation en terme de carquois de l'algèbre de descentes (KF)Dn qui n'est qu'une autre forme de la représentation de cette algèbre. Du point de vue algébrique, on a un système complet d'idempotents primitifs orthogonaux de (KF)Dn dû à F. Saliola. Son analogue combinatoire est l'ensemble des sommets du carquois QDn dont le nom de baptême est pseudo-partitions de type Dn, un ensemble d'objets combinatoires qui étiquettent les idempotents primitifs orthogonaux. Il y a donc autant de classes de (KF)Dn-modules projectifs indécomposables ou (KF)Dn-modules simples que de sommets. Quant au nombre de flèches, si p, q sont deux sommets, alors npq := dimK Ext1 (Sp,Sq) = dimk (eq rad((KF)Dn)/rad2((KF)Dn) ep) est le nombre de flèches de p à q; où ep, eq sont deux idempotents primitifs orthogonaux et Sp, Sq sont deux (KF)Dn-modules simples relatifs à p, q. Du point de vue combinatoire, ce nombre npq est la multiplicité du (KF)Dn-module simple Sq dans le (KF)Dn-module rad(Pp)/rad2(Pp), où Pp = (KF)Dnep. Notre approche est basée sur les arrangements d'hyperplans qui fragmentent l'espace en faces. Ces faces sont étiquetées combinatoirement par une sorte de partitions ordonnées que nous avons nommées pseudo-compositions de type D de [±n]. Le passage de cette dernière au treillis d'intersections s'obtient par oubli de l'ordre dans les pseudo-compositions pour obtenir encore un ensemble d'objets combinatoires que nous avons nommées pseudo-partitions de type Dn, On obtient ainsi les sommets du carquois qui sont les orbites de l'action de Dn sur le treillis d'intersections. Ensuite, nous caractérisons le rad((KF)Dn) et le rad2((KF)Dn). Puis, nous étudions les chemins et calculons les nombres de flèches, également définissons l'amplitude comme étant la différence entre le nombre de parts non zéros du sommet d'arrivée et celui du sommet de départ. Au final, nous avons calculé le nombre de flèches pour les amplitudes 1, 2, 3 et de façon générale, pour ceux dont les sommets d'arrivées s'obtiennent des sommets de départs par suppression d'au plus trois parts non zéros impairs. En outre, on a remarqué que le sous-carquois de (KF)Dn+2 constitué des sommets dont la part zéro est non nulle, est identifié au carquois de (KF)Bn. En marge de notre travail, avec cette nouvelle écriture des pseudo-compositions, nous avons proposé une définition de descente pour les pseudo-compositions et donné une description combinatoire du produit de l'algèbre de descentes (KF)Dn, en termes matriciels. _____________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Groupes de Coxeter, faces d'un arrangement d'hyperplans, treillis d'intersections d'un arrangement d'hyperplans, pseudo-partition, pseudo-composition, amplitude, idempotents primitifs orthogonaux, module projectif indécomposable, module simple, carquois, algèbre de descentes, présentation d'une algèbre.

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	La thèse a été numérisée tel que transmise par l'auteur.
Directeur de thèse:	Saliola, Franco Valentino
Mots-clés ou Sujets:	Groupes de Coxeter / Hyperplans / Carquois (Mathématiques) / Algèbre de descente
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	02 déc. 2020 16:38
Dernière modification:	02 déc. 2020 16:38
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/13682

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