Facial weak order, Coxeter groups and oriented matroids

Dermenjian, Aram (2019). « Facial weak order, Coxeter groups and oriented matroids » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

On étudie l'ordre faible facial, un poset introduit par Krob, Latapy, Novelli, Phan et Schwer à FPSAC 2001 sur les groupes symétriques. L'ordre faible facial est une extension de l'ordre faible d'un groupe de Coxeter fini W à l'ensemble des faces du permutoèdre de W. On commence par donner les notions de base sur les groupes de Coxeter, l'ordre faible et le permutoèdre avant de définir l'ordre faible facial sur les groupes de Coxeter. Ensuite, on donne trois caractérisations de ce poset : l'original qui utilise les relations de couverture ( étendu du type A à tout groupe de Coxeter par Palacios et Ronco en 2006) , la caractérisation géométrique qui généralise la notion d'ensemble d'inversions, et la caractérisation combinatoire comme un sous-poset induit du poset d'intervalles de l'ordre faible. On termine la section sur les groupes de Coxeter en utilisant ces caractérisations pour montrer que l'ordre faible facial d'un groupe de Coxeter est un treillis. Ce résultat est une extension d'un résultat bien connu de Bjorner, établi en 1984 pour l'ordre faible classique. On continue notre étude de la généralisation de l'ordre faible facial au contexte des arrangements d'hyperplans. On commence par donner les notions de base sur les arrangements d'hyperplans, les faces d'un arrangement et le poset des régions. De plus, on donne la définition d'un matroïde orienté et de ses covecteurs (une généralisation d'un arrangement d'hyperplans central et de ses faces). Ensuite, on fournit quatre caractérisations de l'ordre faible facial pour les arrangements d'hyperplans : comme un sous-poset induit du poset des intervalles du poset des régions, en donnant ses relations de couverture, en utilisant les covecteurs du matroïde orienté associé à l'arrangement et en utilisant la structure géométrique d'un zonotope associé à l'arrangement. On termine la section sur les arrangements d'hyperplans en utilisant ces caractérisations pour montrer que l'ordre faible facial sur les arrangements d'hyperplans simpliciaux est un treillis. Ceci est une extension d'un résultat bien connu de Bjorner, Edelman et Ziegler, établi en 1990 pour le poset des régions. On conclut cette thèse en décrivant des problèmes ouverts et des directions pour l'avenir de cette recherche. _____________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : ordre faible, groupes de Coxeter, arrangements d'hyperplans, poset de regions, matroïdes orientés, poset de topes, permutoèdre, zonotopes, quotients de treillis, associaèdre

Type:	Thèse ou essai doctoral accepté
Informations complémentaires:	La thèse a été numérisée tel que transmise par l'auteur.
Directeur de thèse:	Hohlweg, Christophe
Mots-clés ou Sujets:	Ordre faible facial / Groupes de Coxeter / Matroïdes orientés / Hyperplans
Unité d'appartenance:	Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par:	Service des bibliothèques
Date de dépôt:	05 nov. 2020 10:12
Dernière modification:	05 nov. 2020 10:12
Adresse URL :	http://archipel.uqam.ca/id/eprint/13684

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