Lafrenière, Nadia
(2019).
« Valeurs propres des opérateurs de mélange symétrisés » Thèse.
Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.
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Résumé
L'opérateur de mélange doublement aléatoire explique, par exemple, l'évolution d'un paquet de cartes à jouer au fil de l'exécution de la procédure consistant à piger une carte aléatoirement et à la remettre à une position aléatoire. Si on pige plusieurs cartes avant de toutes les replacer, on obtient plutôt une famille d'opérateurs de mélange symétrisés, tels que définis par Victor Reiner, Franco Saliola et Volkmar Welker. Cette thèse décrit comment obtenir les valeurs propres de ces opérateurs de mélange. Pour y arriver, on s'appuie notamment sur les travaux d' Anton Dieker et de Franco Saliola, qui ont calculé les valeurs propres du mélange doublement aléatoire ( qui est parmi les mélanges étudiés). Ici, on calcule les valeurs propres pour tous les opérateurs de la famille. On procède avec l'aide de la théorie de la
représentation du groupe symétrique : on décompose l'espace vectoriel sur lequel les mélanges agissent ( dont une base est formée des permutations des cartes) en modules simples. Ceux-ci sont désignés par les tableaux standards, et l'algorithme de calcul des valeurs propres est entièrement combinatoire : elles sont obtenues à partir de calculs sur les tableaux standards. Les techniques utilisées ici permettent de démontrer d'une nouvelle façon que ces opérateurs de mélange commutent entre eux et de démontrer que les valeurs propres sont entières et positives, résolvant une conjecture laissée ouverte par Reiner, Saliola et Welker. De plus, connaître les valeurs propres pourrait notamment permettre de déterminer le nombre nécessaire d'itérations d'un mélange pour qu'un paquet de cartes soit bien mélangé. Un second ensemble de mélanges aussi introduit par Reiner, Saliola et Welker est étudié. Nous présentons plusieurs conjectures concernant leurs valeurs propres.
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : combinatoire algébrique, théorie de la représentation du groupe symétrique, chaînes de Markov, tableaux standards, mélanges de cartes, valeurs propres, opérateurs de mélange symétrisés
| Type: |
Thèse ou essai doctoral accepté
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| Informations complémentaires: |
La thèse a été numérisée telle que transmise par l'auteur. |
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Directeur de thèse: |
Saliola, Franco |
| Mots-clés ou Sujets: |
Groupes symétriques / Mélange de cartes à jouer / Valeurs propres / Théorie des opérateurs |
| Unité d'appartenance: |
Faculté des sciences > Département de mathématiques |
| Déposé par: |
Service des bibliothèques
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| Date de dépôt: |
23 sept. 2021 12:34 |
| Dernière modification: |
23 sept. 2021 12:34 |
| Adresse URL : |
http://archipel.uqam.ca/id/eprint/14639 |
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