Cohomologie symplectique

Boucher, Samuel (2012). « Cohomologie symplectique » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Le sujet principal de ce mémoire est la théorie de Hodge symplectique que Tseng et Yau ont développée pour des variétés symplectiques. Nous commençons par un rappel d'algèbre linéaire et de géométrie avant de résumer les concepts introduits par Tseng et Yau. Nous présentons des résultats classiques comme le théorème de Moser et celui de Darboux. Nous démontrons aussi l'existence d'une métrique compatible pour chaque variété symplectique. Nous citons aussi la décomposition de Hodge. Nous allons, par la suite, résumer les idées de base de la théorie de Hodge symplectique, qui est inspirée de la décomposition de Hodge riemannienne, en appliquant ses résultats aux variétés presque-kählériennes. Pour ce faire, nous rappelons les résultats de Merkulov et de Mathieu à propos de la propriété forte de Lefschetz. Nous présentons les formes primitives et la représentation sl(2,C) de celles-ci. Nous allons présenter la démonstration de Lejmi d'une proposition de McDuff à propos des zéros de champs de Killing sur une variété compact presque-kählérienne. Par la suite, nous allons présenter les travaux de Tseng et Yau en débutant par les différentes cohomologies qu'ils ont définies et nous présentons différents résultats qu'ils ont obtenus. Après un bref rappel de l'algèbre de Lie, nous présentons 2 exemples de variétés que nous allons pouvoir classifier à partir de cette théorie. Nous allons présenter un exemple de 4-variété non-kählérienne où nous utilisons le résultat de McDuff et Lejmi pour y parvenir et nous reprenons l'exemple de Tseng et Yau d'une 6-variété qui ne possède pas la propriété forte de Lefschetz en utilisant les outils présentés le long de ce mémoire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : variété presque-complexes, géométrie symplectique, théorie de hodge.

Type: Mémoire accepté
Informations complémentaires: Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur
Directeur de thèse: Apostolov, Vestislav
Mots-clés ou Sujets: Cohomologie, Géométrie symplectique, Théorie de Hodge, Variété symplectique
Unité d'appartenance: Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par: Service des bibliothèques
Date de dépôt: 12 sept. 2013 13:47
Dernière modification: 01 nov. 2014 02:25
Adresse URL : http://www.archipel.uqam.ca/id/eprint/5429

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