SLk-tilings and Laurent polynomials

Rodríguez, Adolfo (2013). « SLk-tilings and Laurent polynomials » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Un SLk-pavage est une fonction, sur l'ensemble Z x Z, à valeur dans un certain corps de caractéristique zéro. On exige aussi que chaque mineur connexe, de format k x k, soit égal à l'unité multiplicative du corps. Ces pavages sont intimement liés à la résolution d'une récurrence dite "octaèdrale", dont les solutions apparaissent naturellement comme des systèmes dynamiques dans le contexte de la mécanique statistique, de même que dans la théorie des algèbres amassés. Plus précisément, via l'identité de Desnanot-Jacobi, certains SLk-pavage (ceux satisfaisant une condition supplémentaire de positivité) sont équivalents à une solution de la récurrence d'octaèdrale dans la grille à trois dimensions discrète. Les entrées de cette solution font intervenir toutes les entrées, et tous les mineurs connexes dudit pavage. D'autres SLk-pavages importants sont spécifiés par des conditions de bord, souvent prenant une forme d'escalier irrégulier. Dans ce cas, il a été conjecturé que les entrées et les mineurs sont des polynômes de Laurent à coefficients non négatifs. Plusieurs preuves de cas particuliers de cette conjecture ont été proposées dans la littérature. Le but principal de cette thèse est de présenter des propositions couvrant de nouveaux cas, et de développer des modèles combinatoires permettant d'élaborer une preuve complète de cette conjecture. Un de nos résultats principaux est la preuve de la conjecture pour le cas k = 2. Cette preuve est basée sur la combinatoire des chemins discrets pour décrire les entrées du pavage. Ce modèle fournit des formules en terme de polynômes de Laurent à coefficient positif dont les variables sont les entrées apparaissant sur le bord spécifié. La structure combinatoire du modèle introduit est basée sur la notion d'intersection de chemins dans un graphe, et d'une extension du lemme de Lindstrom-Gessel-Viennot qui est cohérente avec cette nouvelle notion d'intersection de chemins. Au cours de ce travail, nous avons été amenés à introduire des généralisations naturelles des lemmes de Lindstrom-Gessel-Viennot et de Stembridge, permettant de compter des ensembles de n-uples de chemins sans intersections. En particulier, ces généralisations permettent d'énumérer des familles de tableaux de Young semi-standard de forme gauche (skew tableaux), ainsi que de tableaux décalés (shifted tableaux). Notre contribution dans ce contexte concerne non seulement l'obtention de nouvelles preuves de résultats connus dans l'énumération des tableaux, mais aussi des résultats nouveaux fournissant des formules énumératives pour de plus larges familles de tableaux. D'autre part, nous avons développé une toute nouvelle approche permettant d'établir des identités de déterminants, par l'énumération de chemins. Celle-ci fournit des preuves plus courtes et plus élémentaires d'identités classiques, ainsi que de nouveaux résultats algébriques généraux reliés aux déterminants. Nous concluons cette partie de notre travail avec un théorème qui contient une vaste famille d'identités déterminantales originales, et qui permet d'exprimer le déterminant d'une matrice de mineurs d'une matrice générique. Nous utilisons ensuite ces identités déterminantales pour obtenir une preuve récursive de la non-négativité de Laurent pour chaque entrée (et certains mineurs) de SLk-pavages déterminés par des conditions de bords générales. Ceci produit un nouvel algorithme efficace de calcul d'entrées et de mineurs, qui évite en particulier la division par des polynômes autres que des monômes. Plusieurs des résultats de notre travail relèvent de contextes comme la théorie des algèbres amassées, ou les algèbres de Lie, dans lesquels les calculs nécessitent l'utilisation de techniques algébriques complexes. Nous réussissons cependant à les aborder avec des outils purement combinatoires, beaucoup plus simples. En particulier, nos méthodes combinatoires se sont avérées beaucoup plus efficaces que celles utilisées auparavant, pour démontrer la non-négativité de Laurent dans plusieurs cas particuliers d'algèbres amassées. ______________________________________________________________________________

Type: Thèse ou essai doctoral accepté ()
Informations complémentaires: La thèse a été numérisée telle que transmise par l'auteur
Directeur de thèse: Bergeron, François
Mots-clés ou Sujets: Pavage, SLK-Pavage, Polynôme de Laurent
Unité d'appartenance: Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par: Service des bibliothèques
Date de dépôt: 09 sept. 2014 17:53
Dernière modification: 01 nov. 2014 02:28
Adresse URL : http://www.archipel.uqam.ca/id/eprint/6123

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