La conjecture de polarisation généralisée

Blandin Noguera, Héctor José (2015). « La conjecture de polarisation généralisée » Thèse. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Doctorat en mathématiques.

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Résumé

Ce travail est inspiré en partie par un théorème de M. Haiman (M. Haiman 2002). Ce théorème affirme que le plus petit sous-espace vectoriel de C[x1 ,..., xn], fermé par dérivations ∂/∂xi, et fermé par des opérateurs de « polarisation », Ep = Σnj=1 yj ∂p/∂xpi, et qui contient le déterminant de Vandermonde ∆n(x1 ,..., xn) = ∏i>j(xi-xj), coïncide avec le Sn-module Dn des polynômes harmoniques diagonaux du groupe symétrique Sn. Dans cette thèse, on étend cette construction de deux façons. D'abord en considérant des modules de « polarisation généralisés » en faisant intervenir des polynômes à e ensembles de n variables, c'est-à-dire, des polynômes en les variables x11 ,..., x1n ,..., xe1 ,..., xen. Puis en considérant d'autres « genres » pour ces espaces que le déterminant de Vandermonde. Dans tous les cas, on s'intéresse à la décomposition en somme directe de modules irréductibles des modules considérés. Plus précisément, nos modules de polarisation généralisés sont engendrés par des familles Sn-stables de polynômes homogènes. Il s'avère alors que ces modules sont en fait des représentations du produit direct Sn x GLe(C), avec l'action de GLe(C) apparaissant à cause de la polarisation. Leur décomposition en irréductibles se décrit via leur caractéristique de Frobenius graduée. Celle-ci s'exprime comme une somme de produits de polynômes / fonctions de Schur sμ(q)sλ(w), où sμ(q) est un polynôme de Schur en les variables q = (q1 ,..., qe) et λ est un partage de n. Pour les modules considérés, notre objectif est de calculer explicitement la caractéristique de Frobenius graduée de ces modules : Σλ⊢n Σμ bλ,μ sμ(q)sλ(w), en donnant des formules précises pour les entiers bλ,μ. Ces coefficients bλ,μ sont les multiplicités des sous-modules irréductibles sous l'action de Sn x GLe(C). On peut donc aussi, interpréter la formule comme une description du caractère gradué comme Sn x GLe(C)-module. Un théorème de F. Bergeron montre que les coefficients bλ,μ sont indépendants de e. Autrement dit, e, n'intervient dans l'expression que dans le nombre de variables apparaissant dans sμ(q). De plus, il est montré que μ a au plus n parts. Ceci nous permettra d'obtenir une expression qui est valable pour tout e, si on sait la calculer pour e ≤ n. On donne des résultats explicites dans le cas où la famille génératrice Sn-stable (à laquelle est appliqué le processus de polarisation) est constituée : d'un seul polynôme Sn-invariant, en particulier les polynômes symétriques homogènes pd1, pd et ed, pour tout d ≥ 1; du polynôme symétrique monomial m(2,1d-2); du polynôme symétrique hd; d'un seul polynôme symétrique homogène de degré 2 ou 3; d'un seul polynôme symétrique homogène de degré 4 ou 5; d'une seule des familles homogènes et Sn-stables suivantes : A := {xd1j | 1 ≤ j ≤ n}, B := {xd1i – xd1j | 1 ≤ i < j ≤ n} et C := {∏jEAx1j | A ⊆ [n], IAI = d}; d'une seule des familles homogènes et Sn-stables suivantes : T2 := {xa111 ··· xan1n | a1 +···+ an = 2}, T3 := {xa111 ··· xan1n | a1 +···+ an = 3}. On s'intéresse aussi à une classification complète des modules de polarisation engendrés par une famille constituée d'un seul polynôme symétrique homogène à n variables, en termes de la caractéristique de Frobenius graduée de ces modules. Notre classification est complètement déterminée lorsque le degré est plus petit ou égal à 3, et nécessite de considérer une notion de n-exception. Pour les degrés 4 et 5, on propose des formules qui semblent indépendantes de e, et qui semblent donner une classification complète. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire algébrique, représentations des groupes, les polynômes symétriques, les polynômes diagonalement symétriques, caractéristique de Frobenius graduée, opérateurs de polarisation, série de Hilbert.

Type: Thèse ou essai doctoral accepté ()
Informations complémentaires: La thèse a été numérisée telle que transmise par l'auteur.
Directeur de thèse: Bergeron, François
Mots-clés ou Sujets: Combinatoire algébrique / Analyse combinatoire / Représentations de groupes / Polynômes symétriques / Groupes de Frobenius / Modules de polarisation
Unité d'appartenance: Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par: Service des bibliothèques
Date de dépôt: 06 janv. 2016 14:07
Dernière modification: 06 janv. 2016 14:07
Adresse URL : http://www.archipel.uqam.ca/id/eprint/7666

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