Théorème de convexité pour une variété munie d'une structure symplectique transversale

Nouidha, Mohamed (2017). « Théorème de convexité pour une variété munie d'une structure symplectique transversale » Mémoire. Montréal (Québec, Canada), Université du Québec à Montréal, Maîtrise en mathématiques.

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Résumé

Le théorème de convexité stipule que l'image d'une variété symplectique compacte et connexe (M,w) par l'application moment µ : M → Rk de l'action hamiltonienne d'un tore Tk, est un polytope convexe. Prouvé simultanément par (Atiyah, 1982) et (Guillemin et Sternberg, 1982), ce résultat prend d'autant plus d'importance que dans le cas d'une variété torique (le cas où dim(M) = 2k), le polytope ainsi obtenu, s'avère être un invariant combinatoire pour cette classe de variétés symplectiques; résultat prouvé par (Delzant, 1988). Les deux premiers chapitres de ce mémoire présentent un traitement systématique de la géométrie symplectique et de ses résultats fondamentaux dans le contexte de l'action hamiltonienne d'un tore sur une variété symplectique compacte et connexe. Dans le troisième chapitre, nous parlerons de la version classique du théorème de convexité ainsi que du théorème de Delzant, pour ensuite aborder dans le chapitre 4 le théorème 4.3.10 dans lequel la condition sur la structure symplectique du théorème de Atiyah, Guillemin-Sternberg est remplacé par une structure symplectique transverse par rapport au feuilletage généré par un sous-algèbre de Lie g´ ⊂ g qui agit librement sur la variété (où g est l'algèbre de Lie d'un tore G). Dans le cas où g´ = {0} on retrouve le théorème de Atiyah, Guillemin-Sternberg. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Convexité, groupe de Lie, action hamiltonienne, variété symplectique, application moment, polytope de Delzant, structure transversale.

Type: Mémoire accepté
Informations complémentaires: Le mémoire a été numérisé tel que transmis par l'auteur.
Directeur de thèse: Apostolov, Vestislav
Mots-clés ou Sujets: Algèbres convexes / Polytopes convexes / Groupes de Lie / Systèmes hamiltoniens / Variétés symplectiques / Géométrie symplectique
Unité d'appartenance: Faculté des sciences > Département de mathématiques
Déposé par: Service des bibliothèques
Date de dépôt: 10 mai 2017 13:10
Dernière modification: 10 mai 2017 13:10
Adresse URL : http://www.archipel.uqam.ca/id/eprint/9654

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